Об этих частях слова, если их вообще можно назвать таковыми, до сих пор идёт много споров. Кто-то считает их самостоятельными морфемами, кто-то незначительными частями слова, а кто-то и вовсе - просто согласными буквами.
Соединительные гласные в словах в большинстве случаев представлены буквами "о", "и" и "е". Их роль очень проста - они соединяют морфемы. Возможно именно поэтому их не принято считать за самостоятельные морфемы так как они не подходят не под один вид таковых. Они не образуют ни слово, ни форму, они просто соединяют части слов.
Соединительные гласные соединяют исключительно корни слова, они стоят между ними как бы разграничивая их. В основном такие гласные можно встретить в двухкорневых словах: общ-е-житие, сорок-о-ножка.
Существует правило, что соединительная буква "е" идет после шипящих и мягких согласных, как в словах: овощ-е-хранилище, каш-е-вар, стал-е-вар. В свою очередь соединительная буква "о" идет после твердых согласных, например: сам-о-кат, кров-о-обращение, желез-о-бетон. Соединительная буква "и" используется после корня обозначающего число: шест-и-угольник, пят-и-классник.
Конечно дискуссии по поводу таких букв не утихают, но официально принято не привязывать их ни к одному из корней. Именно так нас учат и в школе. На письме такие буквы выделяются различными способами будь то подчеркивание или обвидение кружочком, общепринятого знака не существует.
Соединительные гласные входят в основу слова. Здесь не может быть никаких вопросов, так как при изменении формы или самого слова буква останется на своём месте. Лингвисты называют соединительные гласные интерфиксами. Некоторые учёные в этой области выделили ещё некоторые интерфиксы, но пока эти части слова официально относятся к другим морфемам.