Ставится ли "н" в личных местоимениях в родительном падежа без предлога? Например: часть меня часть тебя часть (н)его?

Нет, формы местоимений с начальным Н употребляются после некоторых предлогов и после форм сравнительной степени. Правильно: _часть его_.