Есть ли в русском языке слова, начинающиеся на букву "ы" и не собственные? корректно ли слово змееед?

Да, такие слова есть. В «Русском орфографическом словаре РАН» зафиксированы междометие _ых_; глагол _ы/кать_ (произносить звук _ы_) и производное от него существительное _ы/канье_; существительное _ыр_ (песня у некоторых тюркских народов). Кроме того, нельзя забывать, что и само слово _ы_ - название буквы - является несклоняемым существительным среднего рода.
В «Русском орфографическом словаре РАН» зафиксировано: _змееяд_.