Подскажите правильно ли я написала: по обеим сторонам, по обоим берегам? Есть ли какое-то правило написания слова "оба" относительно мужского и женского родов?

Вы написали правильно. С существительными женского рода употребляется _обе, обеих, обеим, обеими, об обеих_, с существительными мужского рода - _оба, обоих, обоим, обоими, об обоих_.