подскажите, как правильно писать названия филиалов банка, с прописной или строчной буквы - омский филиал МДМ-Банка. Если можно, поясните почему. И если это официальное полное название, значит, точно пишется "Омский" с большой буквы?

Правило таково. В названиях, начинающихся с географических определений, географическое определение пишется с прописной буквы, если входит в состав официального названия, и со строчной, если не входит в состав названия. Если слово омский – первое слово официального полного названия, его надо писать с большой буквы.