ошибиться, НО: ошибётся - ошибутся - к какому спряжению относится этот глагол?

Ошибиться – глагол первого спряжения. У глаголов с ударными личными окончаниями тип спряжения и определяется по личным окончаниям (а не по инфинитиву).