объясните, как определять, правильно писать И или Е в таких случаях, как: В проекте, казавши

Правильно: в проекте, казавшемся. Это предложный падеж, поэтому пишем е, в творительном падеже пишется и: проектом, казавшимся.  Правописание можно определить по вопросу: какОм – казавшЕмся, какИм – казавшИмся.