Как правильнее писать: досылка или досыл документа? Полагаю, что досылка, но не могу убедить

Оба слова существуют, но различаются стилистически: досылка – общеупотребительное, стилистически нейтральное, досыл употребляется в профессиональной речи. Если хочется уйти от канцелярского языка, лучше использовать слово досылка.