Как в данном случае пишется не (слитно или раздельно): бабульки трудолюбивые, НЕ унывающие

Корректно: неунывающие, не опускающие рук. В первом случае зависимых слов нет, поэтому написание слитное. Во втором –  есть зависимое слово, поэтому не следует писать раздельно.