"Но, даже собрав необходимую сумму, друзья не смогли бы решить проблему". Скажите, правильно

"Но, даже собрав необходимую сумму, друзья не смогли бы решить проблему". Скажите, правильно ли в этом предложении: 1. Расставлены знаки препинания или после союза "но" запятая не требуется? 2. В правильном ди падеже употреблено слово "проблему"? Или предпочтительнее употребить родительный падеж, т.к. здесь отрицание?

Лучший ответ: