Переписываясь с американцем, он как-то поставил меня в тупик вопросом о том, какая разница в употреблении

Слово _тут_ уместно в разговорной речи, слово _здесь_ общеупотребительное. Это значит, что слово _тут_ стилистически некорректно использовать в официальной переписке, научных работах и проч. Слово _здесь_ может использоваться как в названных случаях, так и в публицистике, в повседневной речи.