Как определять корни в фамилиях? Например, что является корнем в фамилии Лановой?

Корень _Ланов-_ и окончание _-ой_ (ср. в косвенных падежах _Ланов-ого, Ланов-ому, семья Ланов-ых_. В фамилиях нет приставок и суффиксов с точки зрения современного словообразования (исторически, конечно же, выделяются патронимические суффиксы).