Первый заместитель премьер-министра или Первый заместитель Премьер-министра ? Вообще, какие правила употребления заглавных букв в названиях должностей (особенно заместителей)?

См. ответ № 189863 . Как официальное название должности корректно следующее написание: _первый заместитель Премьер-министра Республики Адыгея_. Если это неофициальное название должности (официальное название -- _Председатель Правительства_), корректно: _первый заместитель премьер-министра_.