Хочу уточнить, как пишутся названия районов и микрорайонов Москвы - в кавычках или без, а также названия памятников. Например, район Отрадное, микрорайон Дубовая роща. И как затем в тексте писать Дубовая роща ( ?

Кавычки не требуются: _район Отрадное, микрорайон Дубовая Роща, Дубовая Роща_. Если это официальное название монумента, корректно: _памятник Покорителям Космоса_. Если речь идёт об одном из многих монументах, все слова следует писать с маленькой буквы, например: _Во многих городах есть памятники покорителям космоса_.