скажите как правильно "императорский костюм XVII — начала XX века" или "императорский костюм XVII

Правильно: _императорский костюм XVII -- начала XX века_. Слово _век_ относится к слову _начало_, и, так как речь идёт о начале одного, двадцатого, века, корректна форма единственного числа. В случае _ткани XVII -- XX веков_ слово _век_ относится к словам _семнадцатый_ и _двадцатый_, поэтому корректна форма множественного числа.