Какой частью речи является слово "нету"? Думаю, что местоимение, а на самом деле?

Это предикатив. Предикативы -- особая группа слов, стоящих вне традиционной системы частей речи и обозначающих нединамическое состояние. Некоторые лингвисты считают предикативы самостоятельной частью речи, но «официального» статуса часть речи предикативы все же не имеют.