Как правильно: гриб(-)дождевик, как и врач-терапевт? Ведь дождевик - дождевой гриб.

Правильно: _гриб дождевик_. Пишутся раздельно два нарицательных существительных, соотносящихся как родовое и видовое понятия, если они являются членами научной классификации природных объектов. Ср.: _птица иволга, цветок роза, металл литий_.