Как написать глагол-просьбу "вышлите" или же "вышлете"? Объясните, по какому правилу?

Правильно: _вышлите_ (повелительное наклонение). Глаголы с ударной приставкой ВЫ- имеют окончания того же типа спряжения, что и соответствующие глаголы без этой приставки: _шлите_ (под ударением) - _вышлите_.