надо ли склонять названия районов Москвы, оканчивающиеся на "О"? Например, Строгино, Останкино. Есть ли какое-то правило?

Склонение (как и несклонение) таких названий не является ошибкой. Грамматическое согласование "жить в Строгине, работать в Останкине" более характерно для книжного языка, несогласование "жить в Строгино" - для разговорной речи.