Подскажите, какую букву писать в нижеследующих случаях - "е" или "и". "в счёте, являющ(и,е)мся приложением" "экземпляре, остающ(и,е)мся у покупателя" И что здесь за правило действует?

Верно: _в счёте, являющемся приложением, экземпляре, остающемся у покупателя_. Причастие должно стоять в том же падеже, что и существительное (в данном случае это предложный падеж, окончание _-ем_). Школьная подсказка такова: нужно задать вопрос к прилагательному или причастию: _в счете какОм?_ Если вопрос оканчивается на _-ом, -ем_, то в окончаниии пишется _е: являющЕмся_. Если на _-им_, то _и: кефиром какИм? - переливающИмся через край_.