подскажите, как правильно: с шуринОм или с шуринЫм, и по какому правилу это определяется

Правильно: _с шурином_ (это существительное второго школьного склонения). Окончание -ЫМ в творительном падеже имеют прилагательные, а также существительные, склоняющиеся по образцу прилагательных (например: с больным, с рядовым).