Подскажите, правильно ли писать "управление здравоохранением" и "управление образования". Если да, то почему разное управление?

Если слово управление имеет значение 'административный орган какого-либо учреждения, предприятия и т. п.', то оно требует формы родительного падежа: управление здравоохранения, управление образования.