Скажите, как правильно: по прибытии поезда или по прибытию поезда, и почему?

Правильно: по прибытии поезда. Предлог по в значении 'после чего-либо' употребляется с предложным падежом: по завершении, по приезде, по прибытии, по возвращении  и т. д.