(Не)равномерна температура в разных углах помещения. Вместе или раздельно?

Я работаю в редакции газеты. Наш корректор утверждает, что возможно (якобы по новым правилам)употребление слова "развитие" во множественном числе в таком контексте: "художественное, эстетическое, нравственное развития (речь идет о летнем лагере и развитии детей)". Правомочно ли употребление слово развитие" во множественном числе?

Подскажите,существуют ли в современном русском языке деепричастия "увидя","плывши"?

И еще вопрос: штат Гоа, Индия мужского или женского рода?

Подскажите, цирк и циркуль - это однокоренные слова?

Подскажите, корректна ли форма мн.ч. сказуемого во второй придаточной части предложения: "Предполагается, что по запросу представителя нанимателя независимых экспертов будет приглашать и отбирать Минтруд или уполномоченный госорган субъекта РФ в порядке, который установЯТ правительство или региональные органы". Если да, то почему? Не могу найти правило.

Корректно ли словосочетание "длительная помолвка"? Меня убеждают, что помолвкой называется только один день, когда она заключается. Если это верно, как в таком случае назвать отношения людей между этим днем и свадьбой?

"...где вы можете произвести оплату платежей". "Оплата платежей" - это корректно?

Подскажите как правильно: Гессе или Гёссе?

Нужна ли запятая: "Первым делом, он спрашивал обо мне"? Большое