Какой вид сказуемого: остаётся верен?

Подскажите, как правильно произносить окончание ть? как ть или тэ с мягким знаком

Скажите, с чем связано появление подряд букв 'о' и 'а' в слове 'иноагент'? Кажется, что слово сложное, образованное от словосочетания "иностранный агент", тогда разве не должна остаться одна соединительная гласная? Или может оно всё-таки образовано с помощью приставки 'ино', как само слово "иностранный"? Заранее

Подскажите, склоняется ли фамилия в таком случае? Иван и Изабелла Ковтунович(и)? И склонять ли такую фамилию с мужскими именами - Иван и Сергей Ковтунович(и)?

Нужна ли запятая в следующем предложении: при этом число заболевших увеличилось, и дети остались дома. Союз "при этом" может выполнять функцию обобщающего слова (или как это правильно называется)? побыстрее.

Нужно ли ставить в кавычки "Промсвязьбанк"? Мнения разделились.